三、 解答题（本题共3小题，分值分别为12分，14分，14分，共40分）

1.（12分）已知数列 {an}满足 a1=1，an+1=2an+1(n∈N∗)。

（1）求 a2,a3的值；

（2）猜想数列 {an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

（林怀安应对：经典递推数列题。

（1）易得 a2=3, a3=7。

（2）观察 1,3,7，猜想 an=2n−1。

数学归纳法步骤清晰：① n=1成立；② 假设 n=k成立，证 n=k+1成立。代入 ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−1，成立。

书写工整，逻辑严密。）

2.（14分）如图，在四棱锥 P−ABbsp;ABCD为正方形，PA⊥底面 ABbsp;PA=AB=2。

点 E为棱 PC的中点。

（1）求证：BD⊥平面 PAC；

（2）求二面角 E−BD−C的正切值。

（林怀安应对：立体几何综合题。

（1）易证：BD⊥AC（正方形），BD⊥PA（PA⊥底面），故 BD⊥面 PAC。

（2）关键点：需找到二面角的平面角。

（3）取BD中点O，连接EO，CO。

则∠EOC为所求二面角的平面角。

计算 EO（中位线，EO∥PA且 EO=21PA=1），OC（对角线一半，2），PA⊥OC？

需证 Obsp;EBD？

思路卡顿。

标记，跳过。先保证会做的题拿满分。）

第三部分：压轴题（共20分，考察思维深度与创新能力）

四、 压轴题（本题20分）

已知函数 f(x)=x立方−3x。

（1）求函数 f(x)的单调区间与极值；

（2）若关于 x的方程 f(x)=k有三个不等的实根，求实数 k的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设方程的三个实根分别为 x1,x2,x3，且 x1

（林怀安应对： 看到此题，他目光一凝。此题综合性强，难度梯度明显，是拉开差距的关键！

他迅速调动“函数与方程”思想，“数形结合” 方法跃然脑中。）

通览全卷后，林怀安心中有数。

他按顺序答题，稳扎稳打。

基础题和中档题的前几问，他思路清晰，计算精准，书写流畅，如同精密仪器运行。

遇到选择题第2题和中档题第2问的暂时卡顿，他毫不犹豫地跳过，并在草稿纸醒目位置做了标记。

这是他的策略：绝不因小失大，确保有效得分。

很快，他完成了前面所有题目，时间还剩约半小时。

礼堂里已响起沙沙的翻卷子和轻声叹息，显然不少人被难题困住。

他深吸一口气，将全部精力投向最后的压轴题。

（1）求单调区间与极值。

他笔走龙蛇：f′(x)=3x平方−3=3(x−1)(x+1)。令 f′(x)=0，得 x=±1。列表分析，得：f(x)在 (−∞,−1)和 (1,+∞)上单调递增，在 (−1,1)上单调递减。

极大值 f(−1)=2，极小值 f(1)=−2。

顺利完成。

（2）方程 f(x)=k有三不等实根，求 k范围。

“方程根的问题，转化为函数图像交点！”

他立刻想到 “数形结合”。

y=f(x)的图像是“N”型曲线，y=k是水平线。

要有三个交点，水平线必须介于极大值与极小值之间！

即 −2

他严谨地在答案上注明：

“当且仅当 k∈(−2,2)时，方程有三个不等的实根。”